[Description]

求值 $2^{2^{2^{2…∞}}}\ mod\ p$

[Solution]

不要被无限个2吓到了，这一题有一些有趣的性质可以发掘的。
这里介绍两个解法。

Solution 1

我们温习一下欧拉定理：

$a^n≡a^{n\ mod\ φ(p)}\ mod\ p\ \ \ \ \ \ \ \ (gcd(n,p)=1)$

和它的推广：

$a^n≡a^{n\ mod\ φ(p)+φ(p)}\ mod\ p$

我们发现，这题的n,p并不一定互素啊，怎么办呢？我们可以让他们强行互素。
利用公式：

$a^n\ mod\ a^k⋅y=a^k⋅(a^{n−k}\ mod\ y)$

我们把原题中的 $p$ 分为 $2^k+y$
所以原式化为

$2^k⋅(2^{(2^{2^{2…∞}}−k)}\ mod\ y)$

此时y是奇数，和指数互质了！然后就可以愉快地使用欧拉定理–原式化为

$2^k⋅(2^{(2^{2^{2…∞}}−k)\ mod\ φ(y)+φ(y)}\ mod\ y)$

我们发现中间的指数一部分又与原问题相似，于是想到可以递归求解。
那边界是什么呢？我们发现，φ(y)会不断缩小，而且每次至少会除去一个2，所以递归的深度最多为log2§,当y=1时，返回0即可。

需要事先筛好phi值或者直接需要的时候根号时间计算求解。

复杂度 $O(p+log_2(p))$ –线性筛 $O(log_2(p)*sqrt(p))$ –直接计算。
实践过程中第二种方法远远快于第一种。

Solution 2

还是根据公式

$a^n≡a^{n\ mod\ φ(p)+φ(p)}\ mod\ p$

设答案为f§,有

$f(p)=2^{2^{2^{2…∞}}} mod p \\ =2^{(2^{2^{2…∞}})\ mod\ φ(p)+φ(p)}\ mod\ p \\ =2^{f(φ(p))+φ(p)}\ mod\ p$

同样递归求解即可，复杂度同第一个解。

[Code]

给出两种解法的代码，第一种用的线性筛，第二种直接求解。

Code 1

#include<cstdio>

typedef long long ll;
const int maxn=10000001;

int phi[maxn]={0,1};
void MakePhiList(){
  for(int i=2;i<maxn;i++) if(!phi[i])
	for(int j=i;j<maxn;j+=i){
	  if(!phi[j]) phi[j]=j;
	  phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
	}
}

ll pow(ll a,int n,int p){
  ll ans=1;
  while(n) {
	if(n&1) ans=ans*a%p;
	a=a*a%p; n>>=1;
  }
  return ans;
}


ll f(int x){
  if(x==1) return 0;
  int k=0; while(!(x%2)) x/=2,k++;
  return pow(2,(f(phi[x])%phi[x]-k%phi[x]+phi[x])%phi[x]+phi[x],x)<<k;
}

int main(){
  MakePhiList();
  int kase; scanf("%d",&kase);
  while(kase--){
	int x; scanf("%d",&x);
	printf("%lld\n",f(x));
  }
  return 0;
}

Code 2

#include<cmath>
#include<cstdio>

typedef long long ll;

int Phi(int x){
  int ans=x;
  for(int i=2,lim=sqrt(x)+1;i<lim;i++) if(!(x%i)){
	ans-=ans/i;
	while(!(x%i)) x/=i;
  }
  return x>1?ans-ans/x:ans;
}

ll pow(ll a,ll n,ll p){
  ll ans=1;
  while(n){
	if(n&1) ans=ans*a%p;
	a=a*a%p; n>>=1;
  }
  return ans;
}

ll f(int x){
  if(x==1) return 0;
  int phi=Phi(x);
  return pow(2,f(phi)+phi,x);
}

int main(){
  int kase; scanf("%d",&kase);
  while(kase--){
	int x; scanf("%d",&x);
	printf("%lld\n",f(x));
  }
  return 0;
}

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